vineri, 3 august 2012

Elemente de Statistica

Elemente de Statistica Statistica este disciplina care se ocupa cu culegerea,inregistrarea,gruparea,analiza si interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum si cu formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a acestuia. Activitatea de culegere si inregistrare a datelor referitoare la un fenomen face obiectul statisticii descriptive sau statisticii formale. Activitatea de grupare,de analiza si de interpretare a datelor precum si formularea unor previziuni priviind comportarea viitoare a unui fenomen reprezinta obiectul statisticii matematice. Elemente de limbaj in statistica.Date Statistice Definitii 1 Multimea pe care se realizeaza un studiu statistic se numeste populatie statistica. 2 Elementele componente ale unei poulatii statistice se numesc unitati statistice sau indivizi. 3 Numarul total de unitati statistice se numeste efectivul total al populatiei statistice. 4 O parte a populatiei statistice aleasa special pentru a fi studiata se numeste esantion. 5 Proprietatea sau indicatorul in functie de care se cerceteaza o populatie statistica se numeste caracteristica sau variabila statistica. O caracteristica se numeste caracteristica calitativa daca nu poate fi masurata(valoarea ei nu se exprima numeric). Ex: media generala,calificativul,profesia O caracteristica cantitativa se numeste discontinua sau discreta daca nu poate lua decat valori numerice izolate. O caracteristica cantitativa care poate lua orice valoare dintr-un interval de lungime finita sau infinita se numeste caracteristica cantitativa continua. Intervalel in care o caracteristica ia valori se numesc grupe sau clase de valori. Ex: a)Nota la teza.media generala sunt caracteristici cantitative discrete. b)Inaltimea este o caracteristica in functie de care poate fi studiat un grup. Culegerea,Inregistararea si Clasificarea Datelor Statistice Sa consideram studiul efectuat asupra unui grup de sportivi dupa inaltime (exprimata in centimetri). Rezultatele masuratorii sunt inregistrate in ordinea in care a decurs masuratoare si sunt asezate in urmatorul tabel: 165 168 177 195 172 198 196 190 201 168 172 168 168 196 173 199 182 195 196 196 185 205 184 192 178 165 174 182 177 172 196 192 188 195 175 192 175 184 192 170 184 205 190 200 188 176 184 174 188 170 170 180 184 199 192 184 170 175 184 188 165 168 177 195 172 198 196 190 201 168 172 168 168 196 173 199 182 195 196 196 185 205 184 192 178 165 174 182 177 172 196 192 188 195 175 192 175 184 192 170 184 205 190 200 188 176 184 174 188 170 170 180 184 199 192 184 170 175 184 188 Sub aceasta forma datele inregistrate sunt greu de analizat.De aceea este necesara o alta grupare sau clasificare a datelor.De exemplu,sa asezam aceaste date in ordinea crescatoare a inaltimi sportivilor consemnand cati sportivi au o anumit inaltime.Se obtine urmatorul tabel: cm Nr. sportivi cm Nr. sportivi cm Nr. sportivi cm Nr. sportivi cm Nr. sportivi 165 2 174 1 180 1 190 2 199 2 168 4 175 3 182 2 192 5 200 1 170 4 176 1 184 7 195 3 201 1 172 3 177 2 185 1 196 5 205 2 173 1 178 2 188 4 198 1 - - Cu ajutorul acestei clasificari a datelor se pot obtine niste concluzii mai rapide privind particularitatile acestui grup. Rezultatele analizei statistice pot fi obtinute uneori mai usor daca se practica o alta grupare a datelor statistice. De exemplu se poate face o grupare a valorilor caracteristicii studiate in clase de valori: Clase de valori Nr. Sportivi [165,170) 6 [170,175) 6 [175,180) 8 [180,185) 10 [185,190) 5 [190,195) 7 [195,200) 11 [200,205) 4 Cu ajutorul acestui tabel de date se pot obtine cu usurinta diferite informatii despre grupul de studiu,ca de exemplu: -sunt 60 de sportivi -cei mai multi sportivi au inaltimea in clasa de valori [195,200),urmand cei cu inaltimea in clasa de valori [180,185) etc. -9 sportivi au inaltimea in clasa de valori [170,175)si reprezinta 15% din efectivul populatiei statistice; -exista 45 de sportivi cu inaltimea sub 95 cm etc. Valoarea absoluta a diferentei extremitatilor unei clase de valori se numeste amplitudinea clasei. Serii Statistice.Frecvente 1 Multimea tututor perechilor (xi,ni),1 i  p formeaza o serie statistica cu o singura variabila. 2 Numarul ni de unitati statistice corespunzatoare valorii xi a caracteristicii sau a unei clase de valori se numeste frecventa absoluta a valorii xi,respectiv frecventa absoluta a clasei de valori considerate. Rezulta ca Modul de prezentare a unei serii statistice cu o variabila statistica este sub forma unui tabel orizontal sau vertical care cuprinde valorile variabilei statistice sau clasele de valori si frecvntele absolute corespunzatoare: Valorile caracteristice x1 x2.....xp Frecventa absoluta n1 n2 ....np Clase de valori [x1,x2)...[xp-1,xp) Frecventa absoluta n1.....................np Se spune ca aceste tabele definesc distributia sau repartitia statistica a variabilei statistice. Frecventa absoluta cumulata crescatoare a valorii x a variabilei statistice este suma tutuoro frecventelor absolute ale valorilor variabilei care apar pana la xi inclusiv. Se noteaza Frecventa absoluta cumulata descrescatoare a valorii xi a variabilei statisticei este suma tuturor frecventelor absolute ale valorilor variabilei care apar la xi inclusiv. Se noteaza Play games free online jocuri online jocuri motociclete jocuri actiune jocuri cu masini tunate jocuri online noi jocuri cu masini jocuri atv jocuri online tari Raportul dintre frecventa absoluta a unei valori xi sau a unei clase de valori statistice si efectivul total al populatiei se numeste frecventa relativa a clasei de valori. Se noteaza Se numeste frecventa relativa cumulata crescatoare a valorii xi a variabilei statistice , suma tuturor frecventelor relative a valorilor care apar pana la xi inclusiv. Se noteaza Se numeste frecventa relativa cumulata descrescatoare a valorii xi a variabilei statistice , suma tuturor frecventelor relative ale vlorilor care apar la xi inclusiv. Se noteaza Analog se definesc frecventele relative cumulate ale claselor de valori. Reprezentarea Grafica a Datelor Statistice O modalitatea de realizare a analizei si interpretarii datelor statistice o constituie reprezentarea grafica a acestora ,reprezentare care permite vizualizarea datelor statistice in scopul formarii unei imagini intuitive si imediate asupra fenomenului studiat. 1 Graficul unei serii statistice se numeste diagrama structurala. 1.Reprezentarea grafica folosind diagrama circulara Cercul de structura sau diagrama circulara este un cerc a carui arie reprezinta efectivul total al populatiei statistice (100%).Valorile variabilei se reprezinta prin sectoare de cerc ale caror arii sunt proportionale cu frecventele relative ale valorilor variabilei.Cu ajutorul regultii de trei simpla se determina masura unghiului la centru corespunzator fiecarei frecvente. Ex: Structura veniturilor banesti (in lei) din bugetul personal al unui student pe o luna se afla in urmatorul tabel de date: Venituri Bursa de studiu Donatii Activitati suplimentare Vanzari de bunuri Frecventa absoluta 2 400 000 1 200 000 2 100 000 300 000 Frecventa relativa 40% 20% 35% 6% Cu regula de trei simpla se obtine urmatoarea corespondenta intre frecventa relativa fi si masura unghiului la centru corespunzator: fi 40% 20% 35% 5% n 144 72 126 18 Diagrama circulara asociata serii statistice cu variabila calitativa este redata de fi. 2.Reprezentarea grafica folosind dreptunghiul de structura Pentru desenarea dreptunghiului de structura se considera un reper cartezian in plan.Axa verticala va fi axa frecventelor relative fi ale valorilor xi ale variabilei statistice. Cu baza pe axa verticala se deseneaza un dreptunghi cu inaltimea de 100 de unitati.Se divizeaza dreptunghiul pe linii orizontale obtinand dreptunghiuri cu ariile proportionale cu frecventele fi. Ex: Pentru seria statistica cu variabila calitativa din tabelul anterior se obtine dreptunghiul de structura din figura urmatoare : . 3.Reprezentarea grafica prin batoane Diagrama structurala cu ajutoarul batoanelor se obtine astfel: 2 se alege un reper cartezian in plan 3 pe axa orizontala se reprezinta valorile xi ale variabilei statistice 4 pe axa verticala se reprezinta frecventele absolute ni sau frecventele relative fi corespunzatoare valorilor xi 1ip 5 segmentul cu extremitatile in punctele cu coordonatele (xi,0), (xi, ni) respectiv (xi, fi) reprezinta batonul corespunzator valorii xi. Ex; Se considera seria statistica reprezentand distributia unui esantion de 120 de tineri in functie de numarul de carti imprumutate de la bibleoteca intr-un semestru. Numar carti 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Numar elevi 2 8 10 18 20 25 22 5 10 4.Reprezentarea grafica prin coloane sau benzi Acest tip de reprezentare grafica foloseste dreptunghiuri cu latimi egale si lungimile proportionale cu frecventele absolute sau cu frecventele relative ale valorilor variabilei statisticei. Daca dreptunghiurile sunt asezate vertical,reprezentarea grafica se numeste diagrama prin coloane, iar daca sunt asezate orizontal reprezentarea grafica se numeste diagrama prin benzi. Ex: Repartitia numarului de ore de emisie de radio (mii ore program) in perioada 1998-2003 este: Anii 1998 1999 2000 2001 2002 2003 Numar ore 52 58 64 60 70 75 5.Poligonul frecventelor O modalitate de vizualizare a datelot unei seriistatistice este poligonul frecventelor care permite reprezentarea grafica sub forma unei curbe.Fie seria statistica cu telor absolute se unesc printr-o linie poligonala de coordonate , .Daca se unesc punctele de coordonate se obtine poligonul frecventelor relative. 6.Histograma Se considera o serie statistica cu variabila cantitativa continua si clasele de valori de amplitudini egale:distributia unui grup de tineri dupa inaltimea exprimata in centimetri: Inaltime Numar tineri Frecventa absoluta cumulata crescatoare Frecventa absoluta cumulata descrescatoare [155, 160) 5 5 63 [160, 165) 12 17 58 [165, 170) 15 32 46 [170, 175) 20 52 31 [175, 180) 8 60 11 [180, 185) 3 63 3 Interpretarea Datelor Statistice Prin Parametri de Pozitie Analiza si interpretarea datelor statistice legate de un studiu statistic s-a realizat pana la acest moment cu ajutorul frecventelor si a graficelor statistice. Pentru o serie statistica este interesant de gasit acea marime care survine cel mai des , acea marime este cea mai reprezentativa pentru toata seria. O astefle de marime se numeste indicator sau parametru de pozitie deoarece arata pozitia elementelor principale ale seriei in cadrul acesteia. Reprezentivitatea unor astfel de marimi este data de gradul de concentrare a datelor statistice in jurul lor. 1.Valoarea medie a unei serii statistice Fie seris statistica asociata unui studiu statistic asupra unei populatii statistixce din efectivul N, cu variabila cantitativa. Se numeste valoare medie sau media variabilei statistice X , media aritmetica a tuturor valorilor variabilei statistice calculata pentru toate unitatile populatiei statistice. Se noteaza 2.Mediana seriei statistice ordonata Mediana unei serii statistice ordonate este valoarea Me care imparte sirul ordonat al valorilor variabile in doua parti,fiecare parte continand acelasi numar de valori. *Mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa discreta se obtine astfel: -se aseaza cele N valori ale variabilei in ordine crescatoare sau descrescatoare -daca N este numar impar, atunci -daca N este par N=2k, atunci Clasa de valori in seria frecventelor absloute cumulate careia ii corespunde cel putin jumateate din efectivul total al populatiei se numeste clasa mediana. Mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa de tip continuu se calculaeaza cu formula Unde: L=limita inferioara a clasei mediane CM=cota medianei Ni-1=frecventa absoluta cumulata crescatoare pana la clasa mediana ni=frecventa absoluta corespunzatoare clasei mediane k=amplitudinea clasei mediane 3.Modulul unei serii statistice In multe activitati economico-sociale prezinta interes acele aspecte care survin cel mai frecvent in derularea lor. De exemplu compararea numarului de apeluri telefonice pe intervale mici de timp da posibilitatea determinarii perioadei din zi cand o centrala telefonica este cel mai mult solicitata si, in conseciinta , da posibilitatea determinarii capacitatii optime a centralei. Astfel de probleme se rezolva folosind parametru statistic de pozitie numit modul sau dominanta. Definitie! Modulul sau dominanta unei serii reprezinta valoarea unei clase de valori a variabilei care corespunde celui mai mare efectiv si se noteaza Mo. *Pentru determinarea unei valori mai exacte a modulului unei serii statistice cu date grupate in clase de valori , vom face o analiza pe o secventa a diagramei structurale a acesteia care sa contina si valorile din clasa modala [1, L). Fie cazul seriei statistice in care clasa de valori anterioare clasei modale are frecventa mai mica decat frecventa clasei de valori care urmeaza clasei modale. Notam: 1=diferenta dintre frecventa clasei modale si cea a clasei anterioare ei. 2=diferenta dintre frecventa clasei modale si cea a clasei urmatoare. K=amplitudinea clasei modale k=L-1 Se obtine : 4.Dispersia.Abaterea medie patratica Sa consideram urmatoarele seturi de date: {1,2,3,4,5} si {2,40;2,50 ;2,60 ;2,80 ;5} Se constata ca ambele siruri de date au valoarea medie egala cu 3 , sunt distincte , iar datele primului sir sunt raspandite in raport cu media fata de cele a setului al doilea. Pentru a masura gradul de impartasire a datelor unei serii statistice fata de medie se folosesc urmatorii parametri de pozitie: dispersia si abaterea medie patratica. Definitie! *Fiind data seria statistica dispersia valorilor este media aritmetica ponderata a patratelor abatarilor de la medie ale valorilor variabilei. Se noteaza In cazul datelor grupate in clase de valori , se considera abaterile centrelor claselor de valori de la medie. Definitie! *Fiind data seria statistica se numeste abatere medie patratica a valorilor variabilei numarul unde este dispersia serie. Se noteaza Abaterea medie patratica da posibilitatea caracterizarii dispersiei valorilor variabilei statistice.Astfel, o serie care este putin dispersata , adica prezinta valori ce sunt strans grupate in jurul valorii medii, conduce la o medie patratica mica Definitie! Raportul dintre abaterea medie patratica si valoarea medie a unei serii statistice se numeste coeficient de variatie

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu